Question

已知正方體ABCD、EFGH的棱長(zhǎng)為1，現(xiàn)從8個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量X表示取出的三角形的面積．
（I）求概率P(X=

1

2

)；
（II）求X的分布形列及數(shù)學(xué)期望E（X）．

Answer 1

分析：（I）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取3個(gè)構(gòu)成三角形的頂點(diǎn)共有

C

3 8

種取法，然后借助于正方體找出面積分別為

1

2

的三角形的個(gè)數(shù)，利用等可能事件的概率公式即可求解
（II）先判斷出由正方體的頂點(diǎn)組成的三角形的面積的可能值即X可能取值，求出其概率，即可求解分布列和期望

解答：解：（I）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取3個(gè)構(gòu)成三角形的頂點(diǎn)共有

C

3 8

種取法
其中X=

1

2

的三角形如圖中的△ABC，這類三角形共有24個(gè)
∴P（X=

1

2

）=

24

C 3 8

=

3

7

（II）由（I）知，形如△BEG的三角形有8個(gè)，其面積為

3

2

形如△ABC的三角形有4×6=24個(gè)，這些三角形的面積都是

1

2

形如△ABG的三角形有4×6=24個(gè)，這些三角形的面積都是

2

2

而X可能取值有

1

2

，

2

2

，

3

2

P（X=

3

2

）=

8

C 3 8

=

1

7

P（X=

2

2

）=

24

56

=

3

7

∴隨機(jī)變量X的分布列為

EX=

1

2

×

3

7

+

2

2

×

3

7

+

3

2

×

1

7

=

3+3 2 + 3

14

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列及期望的求解，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出各種情況下的概率