Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)M到F₁、F₂的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，不過(guò)點(diǎn)A的直線l：y=kx+b與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和Q．
（1）求軌跡C的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線l過(guò)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得c，根據(jù)M到兩焦點(diǎn)距離和求得a，則b可求得，進(jìn)而求得橢圓的方程．
（2）將直線方程代入曲線C的方程消去y，根據(jù)判別式大于0求得k和b的不等式關(guān)系，設(shè)出P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，根據(jù)直線方程表示出y₁•y₂，推斷出曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-2，0），進(jìn)而可表示出和根據(jù)求得（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0．整理求得k和b的關(guān)系式，最后進(jìn)行驗(yàn)證求得k和b的關(guān)系．
解答：解：（1）∵點(diǎn)M到，的距離之和是4，
∴M的軌跡C是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，焦點(diǎn)在x軸上焦距為的橢圓，
其方程為．
（2）將y=kx+b，代入曲線C的方程，
整理得（1+4k²）x²+8kbx+4b²-4=0，
因?yàn)橹本�l與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P和Q，
所以△=64k²b²-4（1+4k²）（4b²-4）=16（4k²-b²+1）＞0．①
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，．②
且y₁•y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=k²x₁x₂+kb（x₁+x₂）+b²．③
顯然，曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A（-2，0），
所以，，
由，得（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0．
將②、③代入上式，整理得12k²-16kb+5b²=0，
所以（2k-b）（6k-5b）=0，即b=2k或．經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件①．
當(dāng)b=2k時(shí)，直線l的方程為y=kx+2k．
顯然，此時(shí)直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，0）點(diǎn)．即直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，與題意不符．
當(dāng)時(shí)，直線l的方程為．顯然，此時(shí)直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)，且不過(guò)點(diǎn)A．
綜上，k與b的關(guān)系是：，且直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．