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        1. 設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+
          3
          2
          (2a-1)x2-6x(a∈R)

          (1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線方程;
          (2)當(dāng)a=
          1
          3
          時(shí),求f(x)的極大值和極小值;
          (3)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,-3)上是增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          分析:(1)當(dāng)a=1時(shí),利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,確定切線的斜率,求得切點(diǎn)坐標(biāo),即可得到切線方程;
          (2)當(dāng)a=
          1
          3
          時(shí),求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而可得函數(shù)f(x)的極大值和極小值;
          (3)f'(x)=3ax2+3(2a-1)x-6=3(ax-1)(x+2),分類討論,利用f(x)在(-∞,-3)上是增函數(shù),即x<-3時(shí),f'(x)>0恒成立,即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍.
          解答:解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3+
          3
          2
          x2-6x,f′(x)=3x2+3x-6
          …(2分)
          k=f′(-1)=3-3-6=-6,f(-1)=
          13
          2
          ,
          y-
          13
          2
          =-6(x+1)

          即12x+2y-1=0為所求切線方程.…(4分)
          (2)當(dāng)a=
          1
          3
          時(shí),f(x)=
          1
          3
          x3-
          1
          2
          x2-6x,f′(x)=x2-x-6

          令f'(x)=0得x=-2或x=3…(6分)
          令f'(x)>0可得x<-2或x>3;令f'(x)<0可得-2<x<3
          ∴f(x)在(-∞,-2)遞增,在(-2,3)遞減,在(3,+∞)遞增
          ∴f(x)的極大值為f(-2)=
          22
          3
          ,f(x)的極小值為f(3)=-
          27
          2
          …(8分)
          (3)f'(x)=3ax2+3(2a-1)x-6=3(ax-1)(x+2)
          ①若a=0,則f(x)=-
          3
          2
          x2-6x
          ,∴函數(shù)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增.
          ∴滿足要求.…(10分)
          ②若a≠0,則令f'(x)=0,得x1=-2,x2=
          1
          a

          ∵f(x)在(-∞,-3)上是增函數(shù),即x<-3時(shí),f'(x)>0恒成立,
          a>0時(shí),x<-3,f'(x)>0恒成立,即a>0符合題意…(11分)
          a<0時(shí),不合題意.
          綜上所述,實(shí)數(shù)a的取值范圍是[0,+∞)…(12分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查恒成立問題,正確求導(dǎo),恰當(dāng)分類是關(guān)鍵.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ax+
          a+1
          x
           
          (a>0)
          ,g(x)=4-x,已知滿足f(x)=g(x)的x有且只有一個(gè).
          (Ⅰ)求a的值;
          (Ⅱ)若f(x)+
          m
          x
          >1
          對(duì)一切x>0恒成立,求m的取值范圍;
          (Ⅲ)若函數(shù)h(x)=k-f(x)-g(x)(k∈R)在[m,n]上的值域?yàn)閇m,n](其中n>m>0),求k的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ax-
          bx
          ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0,
          (1)求y=f(x)的解析式,并求其單調(diào)區(qū)間;
          (2)用陰影標(biāo)出曲線y=f(x)與此切線以及x軸所圍成的圖形,并求此圖形的面積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=
          ax-1x+1
          ;其中a∈R

          (Ⅰ)解不等式f(x)≤1;
          (Ⅱ)求a的取值范圍,使f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調(diào)減函數(shù).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ax-
          bx
          ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.
          (1)求f(x)的解析式;
          (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          設(shè)函數(shù)f(x)=ax-
          bx
          ,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為7x-4y-12=0.
          (1)求f(x)的解析式;
          (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案