Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，問：m在什么范圍取值時(shí)，對(duì)于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（t，3）上總存在極值？
（Ⅲ）當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3，若在區(qū)間[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，試求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由題意及函數(shù)解析式需用導(dǎo)函數(shù)來求其單調(diào)區(qū)間；
（II）由導(dǎo)函數(shù)的幾何意義可以先求出a的值，此時(shí)函數(shù)f（x）就具體了，然后代入g（x）的解析式，再利用一元3次函數(shù)存在極值的充要條件建立m的不等式即可；
（III）由題意構(gòu)建新函數(shù)F（x），這樣問題轉(zhuǎn)化為使函數(shù)F（x）在[1，e]上至少有一解的判斷．

解答：解：（Ι）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=alnx-ax-3=lnx-x-3；導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=

1

x

-1；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)x＞1時(shí)，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；
故減區(qū)間為（1，+∞），增區(qū)間為（0，1）；
（Ⅱ）∵g（x）=x3+x2[

m

2

+f′(x)]=x3+(2+

m

2

)x²-2x，
∴g‘（x）=3x²+（4+m）x-2，
∵g（x）在區(qū)間（t，3）上總存在極值，∴g‘（x）=3x²+（4+m）x-2在區(qū)間（t，3）上存在零點(diǎn)，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0.

解得-

37

3

＜m＜-9．
所以當(dāng)m∈(-

37

3

，-9)時(shí)，對(duì)于任意的t∈[1，2]函數(shù)g(x)=x3+x2[

m

2

+f′(x)]在區(qū)間（t，3）上總存在極值．
（Ⅲ）∴令F(x)=h(x)-f(x)=(p-2)x-

p+2e

x

-3-2lnx+2x+3=px-

p

x

-

2e

x

-2lnx
①當(dāng)p≤0時(shí)，由x∈[1，e]得px-

p

x

≤0，-

2e

x

-2lnx＜0．
所以，在[1，e]上不存在x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立；
②當(dāng)p＞0時(shí)，F(xiàn)'（x）=

px2-2x+p+2e

x2

，∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，px²+p＞0，F(xiàn)'（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增．
∴F(x)max=F(e)=pe-

p

e

-4．
故只要pe-

p

e

-4＞0，解得p＞

4e

e2-1

．所以p的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：（I）此題在這一問重點(diǎn)考查了函數(shù)上某點(diǎn)處的導(dǎo)函數(shù)值的幾何意義是此函數(shù)在該點(diǎn)處與函數(shù)相切的切線的斜率，還考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法；
（II）在此重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)的集合意義及連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間有極值的充要條件；
（III）此處重點(diǎn)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)建一新函數(shù)，并考查了函數(shù)F（x）在定義域下恒成立問題．