Question

已知方向向量為

v

=（2，2

3

）的直線l過點（0，-2

3

）和橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦點，且橢圓C的中心關于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上．
（1）寫出直線l的方程      
（2）求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線的方向向量，算l的斜率k=

3

，結合直線l過點（0，-2

3

），利用直線方程的斜截式列式，可得直線l的方程；
（2）利用軸對稱的性質，列式算出右準線方程為x=3．根據(jù)直線l過橢圓的焦點算出右焦點為（2，0），由此算出a、b之值，即可得到橢圓C的方程．

解答：解：（1）∵

v

=（2，2

3

）=2（1，

3

），∴l(xiāng)的斜率k=

3

…（2分）
∵直線l過點（0，-2

3

），
∴直線l的方程為：y=

3

x-2

3

，①…（4分）
（2）過原點垂直l的直線方程為y=-

3

3

x，②…（6分）
解①②得x=

3

2

，…．（7分）
∵橢圓中心（0，0）關于直線l的對稱點O'在橢圓C的右準線上，
∴由OO'的中點橫坐標為

3

2

，得

a2

c

=2×

3

2

=3，即右準線方程為x=3．…..（8分）
∵直線l：y=

3

x-2

3

過橢圓焦點，
∴令y=0，得焦點坐標為（2，0）…．（9分）
∴c=2，代入準線方程得a²=2×3=6，從而b²=

a2-c2

=2．
因此，所求橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．…（12分）

點評：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式、橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．