Question

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）判斷函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；
（2）解不等式：f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)；
（3）若f（x）≤m²-2pm+1對所有x∈[-1，1]，p∈[-1，1]（p是常數(shù)）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先判斷單調(diào)性，設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，再利用函數(shù)的奇偶性和已知的條件得到

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，由x₂-x₁＞0，得f（x₂）+f（-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），由函數(shù)的單調(diào)性的定義得到f （x） 在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）不等式等價于

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

，解此不等式組求出它的解集．
（3）由（1）知f（x）_max=f（1）=1，要f（x）≤m²-2pm+1對任意x∈[-1，1]恒成立，只需1≤m²-2pm+1對
p∈[-1，1]恒成立，設(shè)g（p）=m²-2mp，有

g(-1)≥0 g(1)≥0

，解不等式組求得m的取值范圍．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，
∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）．
又x₁＜x₂，∴x₂+（-x₁）≠0，由題設(shè)有

f(x2)+f(-x1)

x2+(-x1)

＞0，
∵x₂+（-x₁）=x₂-x₁＞0，∴f（x₂）+f（-x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
所以函數(shù)f （x） 在[-1，1]上是增函數(shù)．（4分）
（2）不等式f(x+

1

2

)＜f(

1

x-1

)?

-1≤x+ 1 2 ≤1 -1≤ 1 x-1 ≤1 x+ 1 2 ＜ 1 x-1

?

- 3 2 ≤x≤ 1 2 x≥2 或 x≤0 x＜-1 或 1＜x＜ 3 2

，
解得-

3

2

≤x＜-1．（8分）
（3）由（1）知f（x）_max=f（1）=1，∴f（x）≤m²-2pm+1對任意x∈[-1，1]恒成立，
只需1≤m²-2pm+1對p∈[-1，1]恒成立，即 m²-2pm≥0對p∈[-1，1]恒成立
設(shè)g（p）=m²-2mp，則

g(-1)≥0 g(1)≥0

，

m2+2m≥0 m2-2m≥0

．
解得 m≤-2或m≥2或m=0，
∴m的取值范圍是（-∞，-2]∪[2，+∞）∪{0}．（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，根據(jù)函數(shù)的恒成立問題求m的取值范圍是解題的難點(diǎn)．