Question

如圖，在多面體ABCDEF中，ABCD為菱形，∠ABC=60°，EC⊥面ABCD，F(xiàn)A⊥面ABCD，G為BF的中點，若EG∥面ABCD．
（Ⅰ）求證：EG⊥面ABF；
（Ⅱ）若AF=AB，求二面角B-EF-D的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）取AB的中點M，連接GM，MC，證明CE∥GM，可得EG∥面ABCD，從而EG∥CM，證明EG⊥AB，EG⊥AF，可得EG⊥面ABF．
（Ⅱ）建立如圖所示的坐標系，設AB=2，求出平面BEF的法向量=（，1，2），平面DEF的法向量=（-，1，2），利用向量的夾角公式，即可求二面角B-EF-D的余弦值．
解答：（Ⅰ）證明：取AB的中點M，連接GM，MC，G為BF的中點，所以GM∥FA，
又EC⊥面ABCD，F(xiàn)A⊥面ABCD，
∴CE∥AF，
∴CE∥GM，
∵面CEGM∩面ABCD=CM，EG∥面ABCD，
∴EG∥CM，
∵在正三角形ABC中，CM⊥AB，又AF⊥CM
∴EG⊥AB，EG⊥AF，
∴EG⊥面ABF．
（Ⅱ）解：建立如圖所示的坐標系，設AB=2，則B（，0，0），E（0，1，1），F(xiàn)（0，-1，2）
=（0，-2，1），=（，-1，-1），=（，1，1），
設平面BEF的法向量=（x，y，z）則，∴可取=（，1，2）
同理，可求平面DEF的法向量=（-，1，2）
設所求二面角的平面角為θ，則cosθ=-．
點評：本題考查線面垂直，考查面面角，正確運用線面垂直的判定，求出平面的法向量作是解題的關鍵．