Question

已知函數(shù)f（x）=e^-x（2x-a），a∈R．
（I）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（II）若關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程f（x）=1在[

1

2

，2]上有兩個(gè)不等實(shí)根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0求出x的范圍即為單調(diào)遞增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0求出x的范圍即為遞減區(qū)間
（Ⅱ）方程f（x）=1即（2x-a）=e^x，分離出a，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=2x-ex，x∈[

1

2

，2]，利用導(dǎo)數(shù)求出g（x）的最大值及兩個(gè)端點(diǎn)的值，得到a的范圍．

解答：解：（Ⅰ） f'（x）=-e^-x（2x-a）+2e^-x=-e^-x（2x-a-2）…（3分）
當(dāng)x＜

a+2

2

時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)x＞

a+2

2

時(shí)，f'（x）＜0，…（5分）
∴f（x）在(-∞，

a+2

2

)上是增函數(shù)，在(

a+2

2

，+∞)上是減函數(shù)．…（6分）
（Ⅱ）方程f（x）=1即（2x-a）=e^x，
∴a=2x-e^x…（7分）
記g(x)=2x-ex，x∈[

1

2

，2]，
則g′(x)=2-ex，x∈[

1

2

，2]
當(dāng)

1

2

＜x＜ln2時(shí)，g'（x）＞0；當(dāng)ln2＜x＜2時(shí)，g'（x）＜0…（9分）
而g(

1

2

)=1-

e

＞g（2）=4-e²，g（ln2）=2ln2-2，…（12分）
∴1-

e

≤a＜2ln2-2…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值；考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的圖象，進(jìn)一步能解決方程根的個(gè)數(shù)問題．