Question

如圖，給出定點(diǎn)A（a，0）（a＞0，a≠1）和直線l：x=-1，B是直線l上的動(dòng)點(diǎn)，∠BOA的角平分線交AB于點(diǎn)C．求點(diǎn)C的軌跡方程，并討論方程表示的曲線類型與a值的關(guān)系．

Answer 1

分析：欲求點(diǎn)C的軌跡方程，設(shè)點(diǎn)C（x，y），只須求出其坐標(biāo)x，y的關(guān)系式即可，由題意知點(diǎn)C到OA、OB距離相等得到一個(gè)關(guān)系式，化簡(jiǎn)即得點(diǎn)C的軌跡方程，最后對(duì)參數(shù)a進(jìn)行討論來(lái)判斷軌跡是什么圖形即可．

解答：解：依題意，記B（-1，b）（b∈R），則直線OA和OB的方程分別為y=0和y=-bx．
設(shè)點(diǎn)C（x，y），
則有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知點(diǎn)C到OA、OB距離相等．
根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得|y|=

|y+bx|

1+b2

.①
依題設(shè)，點(diǎn)C在直線AB上，故有y=-

b

1+a

(x-a).
由x-a≠0，得b=-

(1+a)y

x-a

.②
將②式代入①式得y2[1+

(1+a)2y2

(x-a)2

]=[y-

(1+a)xy

x-a

]2，
整理得y²[（1-a）x²-2ax+（1+a）y²]=0．
若y≠0，則（1-a）x²-2ax+（1+a）y²=0（0＜x＜a）；
若y=0，則b=0，∠AOB=π，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，0），滿足上式．
綜上得點(diǎn)C的軌跡方程為（1-a）x²-2ax+（1+a）y²=0（0≤x＜a）
因?yàn)閍≠0，所以

(x- a 1-a )2

( a 1-a )2

+

y2

a2 1-a

=1(0≤x＜a).
由此知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，方程③表示橢圓弧段；
當(dāng)a＞1時(shí)，方程③表示雙曲線一支的弧段；

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查曲線與方程，直線和圓錐曲線等基礎(chǔ)知識(shí)，以及求動(dòng)點(diǎn)軌跡的基本技能和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力．