Question

已知雙曲線C：x²-

y2

b2

=1（b＞0），過點(diǎn)M（1，1）作直線l交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，使得M是線段AB的中點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b取值范圍為（　　）

• A、（1，

  2

  ）
• B、（-1，0）∪（0，1）
• C、（0，1）
• D、（1，+∞）

Answer 1

分析：由點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，兩交點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)是M（1，1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求出參數(shù)的值即可

解答：解：由題意設(shè)l：y-1=k（x-1），即y=kx-k+1，代入x²-

y2

b2

=1，
整理得（b²-k²）x²+2k（k-1）x-（k-1）²-b²=0
不妨令A(yù)、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）
則有x₁+x₂=2，
所以x₁+x₂=2=

2k2-2k

k2-b2

，整理得k=b²，
當(dāng)直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可得△＞0，用b代替k整理出
4b²（-b²+1）＞0
即b²-1＜0
∴-1＜b＜1，
又b＞0，故0＜b＜1為所求
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件中所給的中點(diǎn)的坐標(biāo)，得到兩個(gè)變量之間的關(guān)系，用要求的變量代換．