Question

（2013•淄博一模）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1，E為AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：AN∥平面MEC；
（Ⅱ）在線(xiàn)段AM上是否存在點(diǎn)P，使二面角P-EC-D的大小為

π

6

？若存在，求出AP的長(zhǎng)h；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（I）利用CM與BN交于F，連接EF．證明AN∥EF，通過(guò)直線(xiàn)與平面平行的判定定理證明AN∥平面MEC；
（II）對(duì)于存在性問(wèn)題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)x在線(xiàn)段AM上是否存在點(diǎn)P，使二面角P-EC-D的大小為

π

6

．再通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合向量的數(shù)量積求出二面角P-EC-D的大小，若出現(xiàn)矛盾，則說(shuō)明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（I）CM與BN交于F，連接EF．
由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形，
所以F是BN的中點(diǎn)．
因?yàn)镋是AB的中點(diǎn)，
所以AN∥EF．…（7分）
又EF?平面MEC，AN?平面MEC，
所以AN∥平面MEC．…（9分）
（II）由于四邊形ABCD是菱形，E是AB的中點(diǎn)，可得DE⊥AB．
又四邊形ADNM是矩形，面ADNM⊥面ABCD，∴DN⊥面ABCD，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，則D（0，0，0），E（

3

，0，0），C（0，2，0），P（

3

，-1，h），

CE

=（

3

，-2，0），

EP

=（0，-1，h），設(shè)平面PEC的法向量為

n1

=（x，y，z）．
則

CE • n1 =0 EP • n1 =0

，∴

3 x-2y=0 -y+hz=0

，
令y=

3

h，∴

n1

=（2h，

3

h，

3

），又平面ADE的法向量

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3

7h2+3

=

3

2

，解得h=

7

7

，
∴在線(xiàn)段AM上是否存在點(diǎn)P，當(dāng)h=

7

7

時(shí)使二面角P-EC-D的大小為

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查存在性問(wèn)題，直線(xiàn)與平面平行的判斷，二面角的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力．