Question

【題目】如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A，B的一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，E是PC的中點(diǎn)， ，PA=AC=1．

（1）求證：AE⊥PB；
（2）求二面角A﹣PB﹣C的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC

∴PA⊥BC，

又AB是圓O的直徑，C是圓O上不同于A，B的一點(diǎn)

∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，又PA∩AC=A

∴BC⊥平面PAC，又AE平面PAC

∴BC⊥AE

∵PA=AC，E是PC的中點(diǎn)

∴AE⊥PC，又BC∩PC=C

∴AE⊥平面PBC，又PB平面PBC

∴AE⊥PB

（2）證明：過A作AF⊥PB交PB于F，連接EF

又由（1）得AE⊥PB，AE∩AF=A

∴PB⊥平面AEF，又EF平面AEF

∴PB⊥EF，又AF⊥PB

∴∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角

∵在Rt△PAC中，PA=AC=1，則 ，

在Rt△PAB中，PA=1， ，同理得

∴在Rt△AEF中，

故二面角A﹣PB﹣C的正弦值為 ．

【解析】（1）由線面垂直得PA⊥BC，由圓O的直徑，得AC⊥BC，從而AE平面PAC，進(jìn)而BC⊥AE，由等腰三角形性質(zhì)得AE⊥PC，由此能證明AE⊥PB．（2）過A作AF⊥PB交PB于F，連接EF，推導(dǎo)出∠AFE是二面角A﹣PB﹣C的平面角，由此能求出二面角A﹣PB﹣C的正弦值．
【考點(diǎn)精析】利用空間中直線與直線之間的位置關(guān)系對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線： 不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)．