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          過原點向曲線y=x3+2x2+a可作三條切線，則實數(shù)a的取值范圍是______．
          			
          


			
          

		
          
		
		
	
          
		
          
			
          
				
          
				
          設(shè)切點坐標為（x0，x03+2x02+a），而切線的斜率k=y′=3x02+4x0，
          所以切線方程為：y-（x03+2x02+a）=（3x02+4x0）（x-x0），
          把原點（0，0）代入得：2x03+2x02-a，
          所以過原點向曲線y=x3+2x2+a可作三條切線，方程2x03+2x02-a=0有三個不同的實數(shù)解，
          設(shè)h（x）=2x3+2x2-a，所以令h′（x）=6x2+4x=2x（3x+2）=0，解得x=0或x=-
          2
          3
          ，
          則x，h′（x），h（x）的變化如下圖：
          

          


          
x
（-∞，-
          2
          3
          ）          		
-
          2
          3
          		
（-
          2
          3
          ，0）          		
0
（0，+∞）
          

          
h'（x）
+
0
-
0
+
          

          
h（x）
↑
極大值
↓
極小值
↑
          根據(jù)圖形可知：h（x）極大值=h（-
          2
          3
          ）=
          8
          27
          -a，h（x）極小值=h（0）=-a，
          根據(jù)題意
          h(-
          2
          3
          )＞0
          h(0)＜0
          ，即
          8
          27
          -a＞0
          -a＜0
          ，解得：0＜a＜
          8
          27
          ，
          則實數(shù)a的取值范圍是（0，
          8
          27
          ）．
          故答案為：（0，
          8
          27
          ）
          				
          
							
          
			
          
			
          
			
			
          
		
          
	
          

		
          

		





			
          
		
          
		
				
          
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				相關(guān)習題
			
          
						
		
          
			
          
				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          過原點向曲線y=x3+2x2+a可作三條切線，則實數(shù)a的取值范圍是
           
          ．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          （2007•汕頭二模）定義F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞），
          （Ⅰ）令函數(shù)f(x)=F(1，log2(x2-4x+9))的圖象為曲線C1，曲線C1與y軸交于點A（0，m），過坐標原點O向曲線C1作切線，切點為B（n，t）（n＞0），設(shè)曲線C1在點A、B之間的曲線段與線段OA、OB所圍成圖形的面積為S，求S的值；
          （Ⅱ）令函數(shù)g(x)=F(1，log2(x3+ax2+bx+1))的圖象為曲線C2，若存在實數(shù)b使得曲線C2在x0（-4＜x0＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數(shù)a的取值范圍；
          （Ⅲ）當x，y∈N*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：
			
          

						
          定義F（x，y）=（1+x）y，x，y∈（0，+∞）．
          （Ⅰ）令函數(shù)f（x）=F（1，log2（x2-4x+9））的圖象為曲線C1，過坐標原點O向曲線C1作切線，切點為B（n，t）（n＞0），求點B的坐標；
          （Ⅱ）令函數(shù)g（x）=F（1，log2（x3+ax2+bx+1））的圖象為曲線C2，若存在實數(shù)b使得曲線C2在x0（-4＜x0＜-1）處有斜率為-8的切線，求實數(shù)a的取值范圍；
          （Ⅲ）當x，y∈N*且x＜y時，證明F（x，y）＞F（y，x）．
          

			
          

			
          
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				科目：高中數(shù)學
				來源：
				題型：填空題
			
          

						
          過原點向曲線y=x3+2x2+a可作三條切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．
          

			
          

			
          
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