Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R），
（Ⅰ）若a=-1，求曲線y=f（x）在x=

1

2

處的切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=2^x-2，若存在x₁∈（0，+∞），對(duì)于任意x₂∈[0，1]，使f（x₁）≥g（x₂），求a的范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算，即可求曲線y=f（x）在x=

1

2

處的切線的斜率；
（Ⅱ）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）分別求出函數(shù)的最大值，建立不等式，即可求a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax+lnx，∴f′(x)=

ax+1

x

（x＞0）
若a=-1，k=f′(

1

2

)=-1+2=1
（Ⅱ）當(dāng)a≥0，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)
當(dāng)a＜0，令f^′（x）＞0，∴0＜x＜-

1

a

，f^′（x）＜0，∴x＞-

1

a

，
綜上：a≥0，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）；a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，-

1

a

），單調(diào)減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a≥0時(shí)，符合題意；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，-

1

a

），單調(diào)減區(qū)間為（-

1

a

，+∞）
∴f(x)max=f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)
由題意知，只需滿足f（x）_max≥g（x）_max=g（1）=0，∴-1+ln(-

1

a

)≥0，
∴-

1

e

≤a＜0
綜上：a≥-

1

e

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．