Question

選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|
（1）解不等式f（x）≥4；
（2）求函數(shù)y=f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）化簡函數(shù)f（x）=

-x-4  ，  x＜- 1 2 3x-2   ，  - 1 2 ≤x≤3 x+4 ， x＞3

，不等式f（x）≥4 等價于：

x＜- 1 2 -x-4≥4

，或

- 1 2 ≤x≤3 3x-2≥4

，或

x＞3  x+4≥4

．求出各個不等式組的解集，再取并集
即得所求．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù) y=f（x） 的最小值在 x=-

1

2

處取得，由此求得函數(shù)的最小值．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=|2x+1|-|x-3|=

-x-4  ，  x＜- 1 2 3x-2   ，  - 1 2 ≤x≤3 x+4 ， x＞3

，…（3分）
不等式f（x）≥4 等價于：
 

x＜- 1 2 -x-4≥4

，或 

- 1 2 ≤x≤3 3x-2≥4

，或  

x＞3  x+4≥4

．
解得：x≤-8，或 x≥2，
故不等式的解集為 {x|x≤-8 或 x≥2 }．…（6分）
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù) y=f（x） 的最小值在 x=-

1

2

 處取得，
此時 f_min（x）=-

7

2

．…（10分）

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．