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        1. 數(shù)學公式,其中c0,c1,c2,…,ck為非零常數(shù),數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,對于任意的正整數(shù)n,an+Sn=fk(n).
          (1)若k=0,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
          (2)試確定所有的自然數(shù)k,使得數(shù)列{an}能成等差數(shù)列.

          (1)證明:∵k=0,則fk(n)即f0(n)為常數(shù),不妨設f0(n)=c(c為常數(shù)).
          因為an+Sn=fk(n)恒成立,所以a1+S1=c,即c=2a1=2.
          而且當n≥2時,由an+Sn=2 可得①an-1+Sn-1=2,②,把①-②可得 2an-an-1=0(n∈N,n≥2).
          若an=0,則an-1=0,…,a1=0,與已知矛盾,所以
          故數(shù)列{an}是首項為1,公比為的等比數(shù)列.
          (2)解:(i) 若k=0,由(1)知,不符題意,舍去.
          (ii) 若k=1,設f1(n)=bn+c(b,c為常數(shù)),則 當n≥2時,由an+Sn=bn+c ③,可得an-1+Sn-1=b(n-1)+c.④
          ③-④得 2an-an-1=b(n∈N,n≥2).要使數(shù)列{an}是公差為d(d為常數(shù))的等差數(shù)列,必須有an=b-d(常數(shù)),
          而a1=1,故{an}只能是常數(shù)數(shù)列,通項公式為an=1(n∈N*),
          故當k=1時,數(shù)列{an}能成等差數(shù)列,其通項公式為an=1(n∈N*),此時f1(n)=n+1.
          (iii) 若k=2,設(a≠0,a,b,c是常數(shù)),
          當n≥2時,由 ⑤,可得 ⑥,
          ⑤-⑥得 2an-an-1=2an+b-a(n∈N,n≥2).
          要使數(shù)列{an}是公差為d(d為常數(shù))的等差數(shù)列,必須有an=2an+b-a-d,且d=2a,
          考慮到a1=1,所以an=1+(n-1)•2a=2an-2a+1(n∈N*).
          故當k=2時,數(shù)列{an}能成等差數(shù)列,其通項公式為an=2an-2a+1(n∈N*),
          此時(a為非零常數(shù)).
          (iv) 當k≥3時,若數(shù)列{an}能成等差數(shù)列,則an+Sn的表達式中n的最高次數(shù)為2,故數(shù)列{an}不能成等差數(shù)列.
          綜上得,當且僅當k=1或2時,數(shù)列{an}能成等差數(shù)列.
          分析:(1)由a1 =S1 求出首項 a1 的值,當n≥2時,由an+Sn=2 ①,可得an-1+Sn-1=2 ②,相減可得 2an-an-1=0(n∈N,n≥2).判斷,從而證得結論.
          (2)若k=0,由(1)知,不符題意.若k=1,求得an=1(n∈N*),此時f1(n)=n+1.若k=2,同理求得an=2an-2a+1(n∈N*),此時
          當k≥3時,若數(shù)列{an}能成等差數(shù)列,則an+Sn的表達式中n的最高次數(shù)為2,故數(shù)列{an}不能成等差數(shù)列,綜上可得結論.
          點評:本題主要考查等比關系的確定,等差數(shù)列的通項公式的應用,數(shù)列的前n項和與第n項的關系,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          fk(n)=c0+c1n+c2n2+…+cknk(k∈N),其中c0,c1,c2,…,ck為非零常數(shù),數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,對于任意的正整數(shù)n,an+Sn=fk(n).
          (1)若k=0,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
          (2)試確定所有的自然數(shù)k,使得數(shù)列{an}能成等差數(shù)列.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          如圖,橢圓C0
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0
          ,a,b為常數(shù)),動圓C1x2+y2=
          t
          2
          1
          ,b<t1<a.點A1,A2分別為C0的左,右頂點,C1與C0相交于A,B,C,D四點.
          (Ⅰ)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程;
          (Ⅱ)設動圓C2x2+y2=
          t
          2
          2
          與C0相交A′,B′,C′,D′四點,其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A′B′C′D′的面積相等,證明:
          t
          2
          1
          +
          t
          2
          2
          為定值.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          (2012•遼寧)如圖,已知橢圓C0
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0,a,b為常數(shù))
          ,動圓C1x2+y2=
          t
          2
          1
          ,b<t1<a
          .點A1,A2分別為C0的左右頂點,C1與C0相交于A,B,C,D四點.
          (I)求直線AA1與直線A2B交點M的軌跡方程;
          (II)設動圓C2x2+y2=
          t
          2
          2
          與C0相交于A',B',C',D'四點,其中b<t2<a,t1≠t2.若矩形ABCD與矩形A'B'C'D'的面積相等,證明:
          t
          2
          1
          +
          t
          2
          2
          為定值.

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          科目:高中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          fk(n)=c0+c1n+c2n2+…+cknk(k∈N),其中c0,c1,c2,…,ck為非零常數(shù),數(shù)列{an}的首項a1=1,前n項和為Sn,對于任意的正整數(shù)n,an+Sn=fk(n).
          (1)若k=0,求證:數(shù)列{an}是等比數(shù)列;
          (2)試確定所有的自然數(shù)k,使得數(shù)列{an}能成等差數(shù)列.

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