Question

已知f（x）是定義在R上的函數(shù)，且f（2+x）=-f（2-x），f(x+2)=-

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f(x)

．給出下列命題：
①f（0）=0；            
②函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，并且周期為4；
③函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；   
④函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；
⑤函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）成中心對(duì)稱(chēng)．
其中所有正確命題的序號(hào)為

①②③⑤

．（填寫(xiě)所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：給出定義在R上的函數(shù)f（x），首先根據(jù)f(x+2)=-

1

f(x)

，思考兩次運(yùn)用該等式，能把式中的“-”去掉，求出函數(shù)周期為4；然后結(jié)合等式f（2+x）=-f（2-x），取變量x=x+2，可以推出函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)，若圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，同時(shí)又是偶函數(shù)，則有f（x）=0恒成立，這與已知等式不符；設(shè)出f（x）圖象上一點(diǎn)（x₀，y₀），說(shuō)明該點(diǎn)關(guān)于（2，0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也在函數(shù)圖象上，從而說(shuō)明函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（2，0）成中心對(duì)稱(chēng)．

解答：解：在f(x+2)=-

1

f(x)

中，取x=x+2，則f[（x+2）+2]=-

1

f(x+2)

=-

1

- 1 f(x)

=f（x），所以函數(shù)f（x）是以4為周期的周期函數(shù)，故命題②正確．
在f（2+x）=-f（2-x）中，取x=x+2，則有f（2+2+x）=-f[2-（2+x）]=-f（-x），即f（4+x）=-f（-x），因?yàn)楹瘮?shù)的周期為4，所以
f（x）=-f（-x），所以，函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，故命題③正確．
因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，所以有f（0）=0，故命題①①正確．
若函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，則函數(shù)又為偶函數(shù)，所以函數(shù)解析式應(yīng)為f（x）=0，由已知條件f(x+2)=-

1

f(x)

知f（x）不恒為0，出現(xiàn)矛盾，所以命題④不正確．
設(shè)（x₀，y₀）是函數(shù)y=f（x）的圖象上的點(diǎn)，則y₀=f（x₀）=-f（-x₀）=-f（4-x₀），即-y₀=f（4-x₀），
所以點(diǎn)（4-x₀，y₀）也在函數(shù)y=f（x）的圖象上，而（4-x₀，y₀）是（x₀，y₀）關(guān)于（2，0）的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所以命題⑤正確．
故答案為①②③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題是考查抽象函數(shù)的性質(zhì)，處理這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)題目給出的條件，有效的給變量x賦予不同的取值，從而達(dá)到轉(zhuǎn)化為要解決的問(wèn)題的目的．