Question

等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，a1=2+

2

，S3=12+3

2

．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n；
（2）設(shè)bn=

Sn

n

-1(n∈N*)，求證：數(shù)列{b_n}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）設(shè)公差為d，由已知得

a1= 2 +2 3a1+3d=12+3 2

，求出d=2，從而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n與前n項(xiàng)和S_n ．
（2）由（1）得bn=

Sn

n

-1=n+

2

，假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三頂bp，

b

q

，br（p、q、r互不相等）成等比數(shù)列，可得p=r，這與p≠r矛盾，命題得證．

解答：解：（1）設(shè)公差為d，由已知得

a1= 2 +2 3a1+3d=12+3 2

，∴d=2，…（2分）
由此求得 an=2n+

2

，Sn=n(n+1+

2

)．…（5分）
（2）由（1）得bn=

Sn

n

-1=n+

2

．…（7分）
假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三頂bp，

b

q

，br（p、q、r互不相等）成等比數(shù)列，
則

b

2 q

=bpbr，即(q+

2

)2=(p+

2

)(r+

2

)，
∴(q2-pr)+(2q-p-r)

2

=0．…（10分）
∵p，q，r∈N*，∴

q2-pr=0 2p-p-r=0

，…（12分）
∴(

p+r

2

)2=pr，(p-r)2=0，∴p=r，…（15分）
這與p≠r矛盾．所以數(shù)列{b_n}中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比關(guān)系的確定，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，用反證法證明數(shù)學(xué)命題，屬于中檔題．