Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，離心率等于

2

3

，右焦點(diǎn)F是圓（x-1）²+y²=1的圓心，過橢圓上位于y軸左側(cè)的一動(dòng)點(diǎn)P作該圓的兩條切線分別交y軸于M、N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ） 求線段MN的長的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到右焦點(diǎn)F（1，0），可得c=1．再由橢圓離心率等于

2

3

，得到a=

3

2

，從而b²=a²-c²=

5

4

，得到所求橢圓的方程．
（II）設(shè)P（x₀，y₀），M（0，m），N（0，n）．求出直線PM的方程，再由F到直線的距離為1，列出關(guān)于x₀、y₀和m的式子，化簡整理得到（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，同理可得（x₀-2）n²+2y₀n-x₀=0，由此說明m、n是方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．利用根與系數(shù)的關(guān)系，配方可得|MN|=|m-n|=

4x02+4y02-8x0 (x0-2)2

=

16 9 x02-8x0+5 (x0-2)2

．最后設(shè)F（x₀）=

16 9 x02-8x0+5

(x0-2)2

，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得F（x₀）的最大值，從而得到線段MN的長的最大值為

2 21

7

，出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

2

，0）．

解答：解：（I）設(shè)橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓C的右焦點(diǎn)F是圓（x-1）²+y²=1的圓心F（1，0），
∴c=1，結(jié)合離心率e=

c

a

=

2

3

，得a=

3

2

因此，b²=a²-c²=

5

4

，得橢圓C的方程為

x2

9 4

+

y2

5 4

=1；
（II）設(shè)P（x₀，y₀），M（0，m），N（0，n），
可得直線PM的方程：y-m=

y0-m

x0

x，
化簡得（y₀-m）x-x₀y+x₀m=0．
又圓心（1，0）到直線PM的距離為1，
∴

|y0-m+x0m|

(y0-m)2+x02

=1，
平方化簡得（y₀-m）²+x₀²=（y₀-m）²+2x₀m（y₀-m）+x₀²m²，
整理可得（x₀-2）m²+2y₀m-x₀=0，同理可得（x₀-2）n²+2y₀n-x₀=0．
因此，m、n是方程（x₀-2）t²+2y₀t-x₀=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
∴m+n=

-2y0

x0-2

，mn=

-x0

x0-2

，
∴|MN|=|m-n|=

(m+n)2-4mn

=

4x02+4y02-8x0 (x0-2)2

．
∵P（x₀，y₀）是橢圓

x2

9 4

+

y2

5 4

=1上的點(diǎn)，
∴

x02

9 4

+

y02

5 4

=1，可得y02=

5

4

(1-

x02

9 4

)=

5

4

-

5

9

x02
因此，|MN|=

4x02+(5- 20 9 x0  2)-8x0 (x0-2)2

=

16 9 x02-8x0+5 (x0-2)2

，
記F（x₀）=

16 9 x02-8x0+5

(x0-2)2

，得F'（x）=

8 9 x0+6

(x0-2)3

∵橢圓上動(dòng)點(diǎn)P位于y軸左側(cè)，可得x₀∈[-

3

2

，0），而-

3

2

≤x₀＜0時(shí)F'（x）=

8 9 x0+6

(x0-2)3

＜0
∴F（x₀）是上的減函數(shù)，可得F（x₀）的最大值為F（-

3

2

）=

12

7

，此時(shí)|MN|=

2 21

7

因此線段MN的長的最大值為

2 21

7

，出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并探索橢圓與圓的位置關(guān)系，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．