Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．若不等式f（x）≤0恒成立，則 的最小值為 ．

Answer 1

【答案】﹣
【解析】解：∵函數(shù)f（x）=lnx+（e﹣a）x﹣b，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)， ∴ ，x＞0，
當(dāng)a≤e時(shí)，f′（x）＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，∴f（x）≤0不可能恒成立，
當(dāng)a＞e時(shí)，由 ，得x= ，
∵不等式f（x）≤0恒成立，∴f（x）的最大值為0，
當(dāng)x∈（0， ）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（ ，+∞）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取最大值，
f（ ）=﹣ln（a﹣e）﹣b﹣1≤0，
∴l(xiāng)n（a﹣e）+b+1≥0，
∴b≥﹣1﹣ln（a﹣e），
∴ （a＞e），
令F（x）= ，x＞e，
F′（x）= = ，
令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，
H′（x）=ln（x﹣e）+1，
由H′（x）=0，得x=e+ ，
當(dāng)x∈（e+ ，+∞）時(shí)，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)，
x∈（e，e+ ）時(shí)，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=e+ 時(shí)，H（x）取最小值H（e+ ）=﹣e﹣ ，
∵x→e時(shí)，H（x）→0，x＞2e時(shí)，H（x）＞0，H（2e）=0，
∴當(dāng)x∈（e，2e）時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）是減函數(shù)，
當(dāng)x∈（2e，+∞）時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）是增函九，
∴x=2e時(shí)，F(xiàn)（x）取最小值，F(xiàn)（2e）= =﹣ ，
∴ 的最小值為﹣ ．
故答案為：﹣ ．
求出 ，x＞0，當(dāng)a≤e時(shí)，f′（x）＞0，f（x）≤0不可能恒成立，當(dāng)a＞e時(shí)，由 ，得x= ，由題意當(dāng)x= 時(shí)，f（x）取最大值0，推導(dǎo)出 （a＞e），令F（x）= ，x＞e，F(xiàn)′（x）= ，令H（x）=（x﹣e）ln（x﹣e）﹣e，H′（x）=ln（x﹣e）+1，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出 的最小值．