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        1. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點(diǎn)x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3,又坐標(biāo)原點(diǎn)到切線l的距離為,若x=時(shí),y=f(x)有極值.
          (1)求a,b,c的值;
          (2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
          【答案】分析:(1)求出f′(x),由x=1時(shí),切線l的斜率為3得,f′(1)=3;x=時(shí),y=f(x)有極值,得f′()=0;兩者聯(lián)立可解a,b值;設(shè)切線l的方程為y=3x+m,由原點(diǎn)到切線l的距離為,可得一方程,可得m,根據(jù)不過四象限,可確定m取舍;
          (2)由(1)可得f(x)表達(dá)式,利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)極值、在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值,對(duì)其進(jìn)行比較即可得到最大值、最小值;
          解答:解:(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c,得f′(x)=3x2+2ax+b,
          當(dāng)x=1時(shí),切線l的斜率為3,可得2a+b=0.①
          當(dāng)x=時(shí),y=f(x)有極值,則f′()=0,即4a+3b+4=0②
          聯(lián)立①②解得a=2,b=-4.
          設(shè)切線l的方程為y=3x+m,
          由原點(diǎn)到切線l的距離為,
          則==
          解得m=±1.
          ∵切線l不過第四象限,∴m=1,
          由于切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x=1,∴f(1)=4,
          ∴1+a+b+c=4,∴c=5.
          故a=2,b=-4,c=5.
          (2)由(1)可得f(x)=x3+2x2-4x+5,
          ∴f′(x)=3x2+4x-4.
          令f′(x)=0,得x=-2,x=
          當(dāng)x變化時(shí),f(x)和f′(x)的變化情況如下表:
          x[-3,-2)-2(-2,,1]
          f′(x)+-+
          f(x)??↑極大值??↓極小值?↑?
          ∴f(x)在x=-2處取得極大值f(-2)=13,
          在x=處取得極小值f()=
          又f(-3)=8,f(1)=4,
          ∴f(x)在[-3,1]上的最大值為13,最小值為
          點(diǎn)評(píng):本題考查函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,準(zhǔn)確求導(dǎo),熟練運(yùn)算是解決該類問題的基礎(chǔ),屬中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
          π
          2
          )的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是(  )
          A、f(x)=2sin(πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          B、f(x)=2sin(2πx+
          π
          6
          )(x∈R)
          C、f(x)=2sin(πx+
          π
          3
          )(x∈R)
          D、f(x)=2sin(2πx+
          π
          3
          )(x∈R)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=(
          x
          a
          -1)2+(
          b
          x
          -1)2,x∈(0,+∞)
          ,其中0<a<b.
          (1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
          (2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
          (3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
          求證:f1(x)+f2(x)>
          4c2
          k(k+c)

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

          已知函數(shù)f(x)=
          1
          3
          x3+bx2+cx+d
          ,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
          (1)求f(x);
          (2)設(shè)g(x)=x
          f′(x)
           , m>0
          ,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
          (3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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