Question

【題目】已知函數(shù)對任意的實數(shù)都有：，且當(dāng)時，有.

(1)求．

(2)求證：在上為增函數(shù)．

(3)若，且關(guān)于的不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析 (3)

【解析】

（1）令m＝n=0計算即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義進行證明，將f（x2）變形成f[（x2﹣x1）+x1]＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1＞1+f（x1）﹣1＝f（x1），從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（3）由已知條件可將不等式變?yōu)?/span>f（ax﹣2+x﹣x2）＜2，根據(jù)f（1）＝2及f（x）在R上為增函數(shù)可轉(zhuǎn)為x2﹣（a+1）x+3＞0在[1，+∞）恒成立，通過討論對稱軸和1的大小可得答案.

(1)令,則,

∴.

(2)證明：設(shè),且,

則．

∵,

∴，

∴．

故在上為增函數(shù)．

(3)∵，

即，

∴，

∵,

∴.

又在上為增函數(shù),

∴．

∴對任意的恒成立.

令，

①當(dāng),即時,函數(shù)在上單調(diào)遞增，

由,得,

∴；

②當(dāng),即時,由,得，

∴.

綜上可得實數(shù)的取值范圍為．