Question

設(shè)同時滿足條件：①

bn+bn+2

2

≤bn+1（n∈N^*）；②b_n≤M（n∈N*，M是與n無關(guān)的常數(shù)）的無窮數(shù)列{b_n} 叫“特界”數(shù)列．
（Ⅰ）若數(shù)列{a_n} 為等差數(shù)列，S_n是其前n項(xiàng)和，a₃=4，S₃=18，求S_n；
（Ⅱ）判斷（Ⅰ）中的數(shù)列{S_n}是否為“特界”數(shù)列，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)個數(shù)及前n項(xiàng)和個數(shù)將，a₃=4，S₃=18用a₁+2d=4，3a₁+3d=18表示，列出方程組求出a₁=8，d=2，利用前n項(xiàng)和公式求出S_n；
（II）利用“特界”數(shù)列的定義，求出

Sn+Sn+2

2

-Sn+1的值，判斷出其符號，據(jù)新定義數(shù)列{S_n}是“特界”數(shù)列．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為，
a₁+2d=4，3a₁+3d=18，…（2分）
解得a₁=8，d=-2…（4分）
Sn=na1+

n(n-1)

2

d=-n2+9n…（6分）
（Ⅱ）由

Sn+ Sn+2

2

-Sn+1=

(Sn+2-Sn+1)-(Sn+1- Sn)

2

=

an+2- an+1

2

=

d

2

=-1＜0
得

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1，
故數(shù)列數(shù)列{S_n}適合條件①…（9分）
Sn=-n2+9n=-(n-

9

2

)2+

81

4

，
則當(dāng)n=4或n=5時，S_n有最大值20
即S_n≤20，故數(shù)列{S_n}適合條件②．
綜上，故數(shù)列{S_n}是“特界”數(shù)列．…（12分）

點(diǎn)評：解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)問題，一般利用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)公式列出方程組，求出基本量再解決．