Question

已知函數(shù)（a，b，c∈N），且f（2）=2，f（3）＜3，
且f（x）的圖象按向量平移后得到的圖象關(guān)于原點對稱．
（1）求a、b、c的值；
（2）設0＜|x|＜1，0＜|t|≤1，求證不等式|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|；
（3）已知x＞0，n∈N^*，求證不等式[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2．

Answer 1

解：（1）將f（x）的圖象按向量平移后得到的解析式為
若關(guān)于原點對稱，則當x=0時有意義，必有g(shù)（0）=0…（2分）
而g（0）≠0，所以c=0，且b≠0
∵，∴，
∵，∴
∴，
又b∈N，b≠0，所以b=1，a=1∴…（4分）
（2）
∵tx與同號，所以…（6分）
而|t+x|-|t-x|≤|t+x-（t-x）|=2|x|＜2
∴|t+x|-|t-x|＜|f（tx+1）|…（8分）
（3）…（9分）
令，（x＞0）
則，…..①…..②
①②相加得
=…（12分）
≥2（C_n¹+C_n²+…+C_n^n-1）=2（2ⁿ-2）
∴g（x）≥2ⁿ-2，即[f（x+1）]ⁿ-f（xⁿ+1）≥2ⁿ-2，當x=1時取等號…（14分）
分析：（1）由f（x）的圖象按向量平移后得到的圖象關(guān)于原點對稱，可以求出c的值；根據(jù)f（2）=2，f（3）＜3，
可以求出a、b的值；
（2）利用絕對值不等式的性質(zhì)，證明左邊大于等于2，右邊小于2即可；
（3），再借助于二項式的系數(shù)的性質(zhì)可證．
點評：本題主要考查函數(shù)解析式的求解，考查絕對值不等式的性質(zhì)，綜合性強．