Question

如圖，正方形ABCD、ABEF的邊長(zhǎng)都是1，而且平面ABCD、ABEF互相垂直．點(diǎn)M在AC上移動(dòng)，點(diǎn)N在BF上移動(dòng)，若CM=BN=a（0＜a＜）．
（1）當(dāng)a為何值時(shí)，MN的長(zhǎng)最�。�
（2）當(dāng)MN長(zhǎng)最小時(shí)，求面MNA與面MNB所成的二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）作MP∥AB交BC于點(diǎn)，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，易證MNQP是平行四邊形，根據(jù)MN=PQ=，可求出MN的長(zhǎng)，利用配方法即可求出MN的最小值；
（2）取MN的中點(diǎn)G，連接AG、BG，根據(jù)二面角的平面角的定義可知∠AGB即為二面角的平面角，在三角形AGB中利用余弦定理求出此角的余弦值即可．
解答：解：（1）作MP∥AB交BC于點(diǎn)，NQ∥AB交BE于點(diǎn)Q，連接PQ，
依題意可得MP∥NQ，且MP=NQ，即MNQP是平行四邊形，∴MN=PQ
∵CM=BN=a，CB=AB=BE=1，∴AC=BF=，CP=BQ=a
∴MN=PQ==
∵0＜a＜，
∴a=，即當(dāng)M、N分別為AC、BF的中點(diǎn)時(shí)，MN的長(zhǎng)最小，最小為；
（2）取MN的中點(diǎn)G，連接AG、BG，
∵AM=AN，BM=BN，G為MN的中點(diǎn)
∴AG⊥MN，BG⊥MN，即∠AGB即為二面角的平面角α
又AG=BG=，所以由余弦定理有cosα==-
∴面MNA與面MNB所成的二面角的余弦值為-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查空間距離的計(jì)算，考查面面角，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．