Question

（本小題滿分16分）

對于函數(shù)，如果是一個三角形的三邊長，那么也是一個三角形的三邊長，則稱函數(shù)為“保三角形函數(shù)”．
對于函數(shù)，如果是任意的非負(fù)實(shí)數(shù)，都有是一個三角形的三邊長，則稱函數(shù)為“恒三角形函數(shù)”．
（Ⅰ）判斷三個函數(shù)“（定義域均為）”中，哪些是“保三角形函數(shù)”？請說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)是“恒三角形函數(shù)”，試求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）如果函數(shù)是定義在上的周期函數(shù)，且值域也為，試證明：既不是“恒三角形函數(shù)”，也不是“保三角形函數(shù)”.

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）k的取值范圍是
（Ⅲ）略

．解：（I）對于上是增函數(shù)，不妨設(shè)

對于上是增函數(shù)，不妨設(shè)
則
所以
故是“保三角形函數(shù)”  ………………4分
對于是一個三角形的三邊長，
但因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154308748951.gif" style="vertical-align:middle;" />，
所以不是三角形的三邊長，故
不是“保三角形函數(shù)” ………………6分
（II）法一：

①當(dāng)，適量題意 ………………8分
②當(dāng)
所以
 …………9分
③當(dāng)
所以
從而當(dāng)
由
綜上所述，所求k的取值范圍是 ………………11分
法二：
，
①當(dāng)適合題意；
②當(dāng)上遞增，在上遞減，而

③當(dāng)上遞增，而
且當(dāng)
（以下同法一，按此方法求解的，類似給分）
（III）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154309294988.gif" style="vertical-align:middle;" />，
使得顯然這樣的不是一個三角形的三邊長，
故不是“恒三角形函數(shù)” ………………13分
②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154309465821.gif" style="vertical-align:middle;" />，令，
且
所以是一個三角形的三邊長，但因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823154309793658.gif" style="vertical-align:middle;" />
不是一個三角形的三邊長，
故也不是“保三角形函數(shù)” ………………16分
（說明：也可以先證不是“保三角形函數(shù)”，然后據(jù)此知也不是“恒三角形函數(shù)”）