Question

（1）已知點(diǎn)A（

3

2

，0）、B（3，0），動點(diǎn)M到A與B的距離比為常數(shù)

1

2

，求點(diǎn)M的軌跡方程．
（2）求與圓（x-1）²+y²=1外切，且與直線x+

3

y=0相切于點(diǎn)Q（3，-

3

）的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）利用直譯法，將幾何條件動點(diǎn)M到A與B的距離比為常數(shù)

1

2

，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程

(x- 3 2 )2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

，從而求得點(diǎn)M的軌跡方程
（2）利用待定系數(shù)法，設(shè)所求圓方程為（x-a）²+（x-b）²=r²，利用所求圓與圓（x-1）²+y²=1外切，和所求圓與與直線x+

3

y=0相切于點(diǎn)Q（3，-

3

），列方程可解得a、b、r的值

解答：解：（1）解：設(shè)M（x，y），
則

(x- 3 2 )2+y2

(x-3)2+y2

=

1

2

              
兩邊平方整理得：（x-1）²+y²=1     
（2）設(shè)所求圓方程為（x-a）²+（x-b）²=r²
依題意有

(1-a)2+b2 =1+r |a+ 3b 2 =r - 3 3 × b+ 3 a-3 =-1

       
∴b=

3

（a-4）代入前兩個(gè)等式得：

(a-1)2+b2

=1+2|a-3|
（1）當(dāng)a＞3時(shí)，有（a-1）²+3（a-4）²=（2a-5）²
解得a=4，∴b=0，r=2；                                         
（2）當(dāng)a≤3時(shí)，有（a-1）²+3（a-4）²=（7-2a）²
解得a=0，∴b=-4

3

，r=6． 
綜上所述：（x-4）²+y²=4；x²+（y+4

3

）²=36

點(diǎn)評：本題考察了直譯法求曲線的軌跡方程，待定系數(shù)法求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程等基礎(chǔ)知識，解題時(shí)要熟練的將幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件，利用分類討論的方式解決問題