Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²+2x+b（x∈R）的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C，求：
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（Ⅱ）求圓C的方程；
（Ⅲ）問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b 無關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論。

Answer 1

解：（Ⅰ）令x=0，得拋物線與y軸的交點(diǎn)是（0，b），
令，
由題意b≠0且△>0，
解得：b<1且b≠0。
（Ⅱ）設(shè)所求圓的一般方程為，
令y=0，得與x²+2x+b=0是同一個(gè)方程，
故D=2，F(xiàn)=b；
令x=0，得，此時(shí)方程有一個(gè)根為b，
代入，得出E=-b-1，
所以，圓C的方程為。
（Ⅲ）圓C 必過定點(diǎn)（0，1）和（-2，1）。
證明如下：將（0，1）代入圓C的方程，得左邊=0²+1²+2×0-（b+1）+b=0，右邊=0，
所以圓C必過定點(diǎn)（0，1），
同理可證圓C必過定點(diǎn)（-2，1）。