Question

如圖，一圓形靶分成A，B，C三部分，其面積之比為1：1：2．某同學(xué)向該靶投擲3枚飛鏢，每次1枚．假設(shè)他每次投擲必定會(huì)中靶，且投中靶內(nèi)各點(diǎn)是隨機(jī)的．
（Ⅰ）求該同學(xué)在一次投擲中投中A區(qū)域的概率；
（Ⅱ）設(shè)x表示該同學(xué)在3次投擲中投中A區(qū)域的次數(shù)，求x的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（Ⅲ）若該同學(xué)投中A，B，C三個(gè)區(qū)域分別可得3分，2分，1分，求他投擲3次恰好得4分的概率．

Answer 1

分析：（1）題考查的知識(shí)點(diǎn)是幾何概型的意義，關(guān)鍵是要找出滿(mǎn)足條件A的區(qū)域面積和總面積之間的關(guān)系，再根據(jù)幾何概型計(jì)算公式給出答案；（2）根據(jù)（1）中投中A區(qū)域的概率，不難列出x的分布列并進(jìn)行數(shù)學(xué)期望；（3）考查的是古典概型，我們可以列舉出三次投擲總的基本事件個(gè)數(shù)及恰得4分的事件個(gè)數(shù)，代入古典概型計(jì)算公式求解．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)該同學(xué)在一次投擲中投中A區(qū)域的概率為P（A），
依題意，P(A)=

1

4

．
（Ⅱ）依題意知，X～B(3，

1

4

)，P(X=k)=

C

k n

(

1

4

)k(1-

1

4

)n-k（k=0，1，2，3）
從而X的分布列為：

EX=np=

3

4

（Ⅲ）設(shè)B_i表示事件“第i次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中B區(qū)域”，C_i表示事件“第i次擊中目標(biāo)時(shí)，擊中C區(qū)域”，i=1，2，3．
依題意知P=P(B1C2C3)+P(C1B2C3)+P(C1C2B3)=3×

1

4

×

1

2

×

1

2

=

3

16

．

點(diǎn)評(píng)：求古典概型的概率的基本步驟為：（1）算出所有基本事件的個(gè)數(shù)n．（2）求出事件A包含的所有基本事件數(shù)m．（3）代入公式，求出P（A）．幾何概型中的三種基本度量為長(zhǎng)度、面積和體積，在解題時(shí)要準(zhǔn)確把握，要把問(wèn)題向它們作合理地轉(zhuǎn)化，要注意古典概型與幾何概型的區(qū)別（基本事件的有限性和無(wú)限性），正確選用幾何概型解題．