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        1. 已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
          1-2xa+2x+1
          是奇函數(shù).
          (1)求a的值;
          (2)若對任意的t∈R,不等式f(mt2+1)+f(1-mt)<0恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
          分析:(1)由題意可得函數(shù)的定義域是R是奇函數(shù),把f(-1)=-f(1),代入可得a的值.
          (2)由(1)可得 f(x)=
          1-2x
          2+2x+1
          在它的定義域是R是減函數(shù),且是奇函數(shù),不等式化為f(mt2+1)<f(mt-1),可得 mt2-mt+2>0,分m=0和m≠0兩種情況分別求出實(shí)數(shù)m的
          取值范圍.
          解答:解:(1)由題意可得函數(shù)的定義域是R且函數(shù)是奇函數(shù),把f(-1)=-f(1),代入可得:a=2.
          (2)由(1)可得 f(x)=
          1-2x
          2+2x+1
          在它的定義域是R是減函數(shù),且是奇函數(shù),則不等式 f(mt2+1)+f(1-mt)<0 可化為:
          f(mt2+1)<-f(1-mt),即 f(mt2+1)<f(mt-1),
          ∴mt2+1>mt-1,mt2-mt+2>0.-----(*)
          ①若m=0,(*)式對一切實(shí)數(shù)顯然成立;
          ②若m≠0,則:m>0且(-m)2-8m<0,解得:0<m<8.
          從而,實(shí)數(shù)m的取值范圍是:0≤m<8,故實(shí)數(shù)m的取值范圍[0,8).
          點(diǎn)評:本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合應(yīng)用,函數(shù)的恒成立問題,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題.
          練習(xí)冊系列答案
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          已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=
          -2x+a2x+1
          是奇函數(shù)
          (1)求a值;
          (2)判斷并證明該函數(shù)在定義域R上的單調(diào)性;
          (3)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
          (4)設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F(x)=f(4x-b)+f(-2x+1)有零點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍.

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