Question

【題目】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為 ，且點(diǎn) 在橢圓 上.
（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)橢圓 上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn) 作圓 的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為 （ 不在坐標(biāo)軸上），若直線(xiàn) 在 軸， 軸上的截距分別為 ，證明： 為定值.

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得：c=1，所以a2=b2+1，
又因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓C上，所以 可解得a2=4，b2=3，
所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
（2）證明：由（1）知 ，設(shè)點(diǎn) ，因?yàn)? 不在坐標(biāo)軸上，所以 ，直線(xiàn) 的方程為 化簡(jiǎn)得 ，同理可得直線(xiàn) 的方程為： ，把點(diǎn) 的坐標(biāo)代入得 ，所以直線(xiàn) 的方程為 ，令 ，得 ；令 ，得 ，所以 又點(diǎn) 在橢圓 上，所以： ，即 為定值
【解析】（1）根據(jù)條件和橢圓的定義及性質(zhì)可得a，b，c的關(guān)系，解方程即得a，b，c的值。
（2）根據(jù)（1）可得橢圓C1 ， 利用圓的切線(xiàn)性質(zhì)分別設(shè)出直線(xiàn)QM，OM，QN，OM，最后消去Q，M，N的坐標(biāo)，即可得到定值。