Question

在直角坐標系xOy中，長為

2

+1的線段的兩端點C、D分別在x軸、y軸上滑動，

CP

=

2

PD

．記點P的軌跡為曲線E．
（I）求曲線E的方程；
（II）經(jīng)過點（0，1）作直線l與曲線E相交于A、B兩點，

OM

=

OA

+

OB

，當點M在曲線E上時，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)C、D、P的坐標，利用

CP

=

2

PD

，確定坐標之間的關(guān)系，由|CD|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，從而可得曲線E的方程；
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

OM

=

OA

+

OB

知點M坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂）．設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入曲線E方程，利用韋達定理及點M在曲線E上，求得k²=2，再利用向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由

CP

=

2

PD

，得（x-m，y）=

2

（-x，n-y），
∴x-m=-

2

x，y=

2

（n-y），
由|CD|=

2

+1，得m²+n²=（

2

+1）²，
∴（

2

+1）²x²+

( 2 +1)2

2

y2=（

2

+1）²，
整理，得曲線E的方程為x²+

y2

2

=1
（II）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

OM

=

OA

+

OB

知點M坐標為（x₁+x₂，y₁+y₂）．
設(shè)直線l的方程為y=kx+1，代入曲線E方程，得（k²+2）x²+2kx-1=0，
則x₁+x₂=-

2k

k2+2

，x₁x₂=-

1

k2+2

，
y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2=

4

k2+2

，
由點M在曲線E上，知（x₁+x₂）²+

(y1+y2)2

2

=1，
即（-

2k

k2+2

）²+

8

(k2+2)2

=1
解得k²=2．
∴x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+k（-

2k

k2+2

）+1=-

3

4

∴

OA

•

OB

=-

3

4

．

點評：本題考查向量知識的運用，考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關(guān)系，正確運用向量，確定坐標之間的關(guān)系是關(guān)鍵．