Question

已知函數(shù)f(x)=lnx+

a

x

(a＞0)
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立，求實數(shù)a的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，小于0，分別解出不等式即可；
（2）切線的斜率即為函數(shù)在切點處的導(dǎo)數(shù)，讓導(dǎo)數(shù)≤

1

2

恒成立即可，再由不等式恒成立時所取的條件得到實數(shù)a范圍，即得實數(shù)a的最小值．

解答：解：由f(x)=lnx+

a

x

(a＞0)，得到f′(x)=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

 (a＞0，x＞0)
（1）令f′（x）＞0，得到x-a＞0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞），
令f′（x）＜0，得到x-a＜0，故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），
故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，a），單調(diào)遞增區(qū)間為（a，+∞）．
（2）由于f′(x0)=

x0-a

x02

，且以y=f（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點P（x₀，y₀）為切點的切線的斜率k≤

1

2

恒成立
則f′(x0)=

x0-a

x02

 ≤

1

2

在（0，3]上恒成立，即a≥x0-

1

2

x02在（0，3]上恒成立，
令g(x)=x-

1

2

x2(0＜x≤3)，可知g(x)max=g(1)=

1

2

，
∴a≥

1

2

，
故實數(shù)a的最小值為

1

2

．

點評：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．同時考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，不等式恒成立時所取的條件．