Question

已知周期為4的函數(shù)f（x）=

2 1-x2 1-|x-2|

(-1＜x≤1)   (1＜x≤3)

．
（1）試確定方程f（x）-

x

3

=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)
（2）求f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析：（1）本題即求函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

x

3

的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=f（x）與直線y=

x

3

的圖象，數(shù)形結(jié)合可得結(jié)論．
（2）當(dāng)x∈（4k-1，4k+1]，k∈z，則x-4k∈（-1，1]，由此可得此時(shí)f（x）的解析式．當(dāng)x∈（4k+1，4k+3]，k∈z，則x-4k∈（1，3]，由此可得f（x）的解析式，綜合可得結(jié)論．

解答：解：（1）方程f（x）-

x

3

=0的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)，
即函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=

x

3

的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
在同一個(gè)坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=f（x）與直線y=

x

3

的圖象，
數(shù)形結(jié)合可得，函數(shù)y=f（x）與直線y=

x

3

的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3．
（2）當(dāng)x∈（4k-1，4k+1]，k∈z，則x-4k∈（-1，1]，
f（x）=f（x-4k）=2

1-(x-4k)2

．
當(dāng)x∈（4k+1，4k+3]，k∈z，則x-4k∈（1，3]，
f（x）=f（x-4k）=1-|x-4k-2|，
∴f（x）=

2 1-(x-4k)2  ，x∈(4k-1 ，4k+1] ，k∈z 1-|x-4k-2| ，x∈(4k+1 ，4k+3] ，k∈z

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．