Question

已知是二次函數(shù)，不等式的解集是(0，5)，且在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12．
（1）求f(x)的解析式；
（2）是否存在正整數(shù)m,使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）；（2）方程，
設(shè)，則.
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240511472671788.png" style="vertical-align:middle;" />.所以方程在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而區(qū)間，內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根.所以存在唯一的正數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.

試題分析：（1）由已知得0，5是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)值，所以可設(shè)，開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸為，因此在區(qū)間上的最大值是，則，即，因此可求出函數(shù)的解析式；（2）由（1）得，構(gòu)造函數(shù)，則方程的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)法得到函數(shù)減區(qū)間為、增區(qū)間為，又有，，，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一零點(diǎn)，而在區(qū)間，內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)，所以存在唯一的正數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824051147376495.png" style="vertical-align:middle;" />是二次函數(shù)，且的解集是，
所以可設(shè)    2分
所以在區(qū)間上的最大值是.    4分
由已知，得，..    6分
（2）方程，
設(shè)，則.    10分
當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù).        10分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240511480311806.png" style="vertical-align:middle;" />.
所以方程在區(qū)間，內(nèi)分別有唯一實(shí)數(shù)根，而區(qū)間，內(nèi)沒(méi)有實(shí)數(shù)根.    12分
所以存在唯一的正數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根.     14分