Question

某單位建造一間地面面積為12米²的背面靠墻的矩形小房子,由于地理位置的限制,房子側(cè)面的長(zhǎng)度x不得超過(guò)a米,房屋正面造價(jià)為400元/米²,房屋側(cè)面造價(jià)為150元/米²,屋頂和地面造價(jià)費(fèi)用合計(jì)5 800元,如果墻高為3米,且不計(jì)房屋背面的費(fèi)用.

(1)把房屋總造價(jià)y表示成x的函數(shù),并寫出該函數(shù)的定義域.

(2)當(dāng)側(cè)面的長(zhǎng)度x為多少時(shí),總造價(jià)最低?最低總造價(jià)是多少?

Answer 1

解析:(1)由題意可得y=3(2x·150+·400)+5 800=900(x+)+5 800(0＜x≤a).

(2)y=900(x+)+5 800≥900·2+5 800=13 000,

當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=4時(shí)取等號(hào).

若a≥4,當(dāng)x=4時(shí),y有最小值13 000.

若a＜4,任取x₁、x₂∈(0,a)且x₁＜x₂,

y₁-y₂=900(x₁+)+5 800-900(x₂+)-5 800=900［(x₁-x₂)+16(-)］

=.

∵x₁＜x₂＜a,

∴x₁-x₂＜0,x₁x₂＜a²＜16.

∴y₁-y₂＞0.

∴y=900(x+)+5 800在(0,a)上是減函數(shù).

∴當(dāng)x=a時(shí),y有最小值900(a+)+5 800.