Question

【題目】在直角坐標(biāo)xOy中，以O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為.

（1）求橢圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）已知過的直線與橢圓C交于A，B兩點，且兩點與左右頂點不重合，若，求四邊形面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）6

【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換公式將極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化；

（2）設(shè)，，，以及的方程，將的方程與橢圓聯(lián)立，分析可得，借助根與系數(shù)的關(guān)系可以將四邊形面積用表示出來，利用換元法及基本不等式的性質(zhì)分析可得答案．

（1）曲線的極坐標(biāo)方程：，

即，

根據(jù)

轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：．

（2）設(shè)，，，，，

則由，可得，

即，

△，

則

又因為，

所以四邊形是平行四邊形，，

設(shè)平面四邊形的面積為，

則，

設(shè)，則，

所以，

因為在上是增函數(shù)，

所以，當(dāng)時等號成立，

故，

，當(dāng)時等號成立，

所以，，

所以四邊形面積的最大值為6．