Question

對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，滿足，則稱為“局部奇函數(shù)”．
（1）已知函數(shù)，試判斷是否為“局部奇函數(shù)”？并說明理由；
（2）若為定義域上的“局部奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（1）為“局部奇函數(shù)”； （2）

解析試題分析：（1）若方程有解，則說明是“局部奇函數(shù)”，否則，則說明不是“局部奇函數(shù)”。 （2）當(dāng)時(shí)，可化為，用整體思想將視為整體用表示。將上式轉(zhuǎn)化為的一元二次函數(shù)。根據(jù)題意可知此二次函數(shù)在其定義域上有解。
試題解析：解：（1）為“局部奇函數(shù)”等價(jià)于關(guān)于x的方程有解．
當(dāng)時(shí)，
由得
解得，
所以方程有解，因此為“局部奇函數(shù)”．               4分
（2）當(dāng)時(shí)，可化為
．
令， 則，                         6分
從而在有解即可保證為“局部奇函數(shù)”．       8分
令，
1° 當(dāng)，在有解，
由，即，解得；      10分
2° 當(dāng)時(shí)，在有解等價(jià)于
解得．              13分
（說明：也可轉(zhuǎn)化為的大根大于等于2求解）
綜上，所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為．                14分
考點(diǎn)：1新概念問題；2指數(shù)函數(shù)的值域；3二次函數(shù)。