Question

【題目】已知函數(shù).

（1）判斷函數(shù)的零點的個數(shù)并說明理由；

（2）求函數(shù)零點所在的一個區(qū)間，使這個區(qū)間的長度不超過；

（3）若，對于任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）一個，理由見解析；（2）；.

【解析】

（1）分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論；

（2）先可求得函數(shù)的零點所在的一個區(qū)間為，然后利用二分法可得出的一個零點所在的區(qū)間，且這個區(qū)間的長度不超過；

（3）由題意可知，，利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)在區(qū)間的最大值，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式對任意的恒成立，可得出，由此可解出實數(shù)的取值范圍.

（1）由題易知：函數(shù)的定義域為，且在上連續(xù)，

，，，

函數(shù)和在上都是增函數(shù)，

所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，

因此，函數(shù)在上有且只有一個零點；

（2）設(shè)函數(shù)的零點為，由（1）知：，，，

取，，

，且， 即為符合條件的區(qū)間；

（3）當(dāng)時，對于任意的，不等式恒成立等價于

，，.

由函數(shù)在上是增函數(shù)，可知，

對任意恒成立，對任意恒成立，

，解得，

因此，的取值范圍是.