Question

解答題： 如圖，正三棱柱ABC—A1B1C1，各棱長(zhǎng)都等于a，E是BB1的中點(diǎn)． (1) 求直線C1B與平面A1ABB1所成角的正弦值； (2) 求證：平面AEC1⊥平面ACC1A1； (3) 求點(diǎn)C1到平面的距離

Answer 1

答案：
解析：

(1)	解：取A1B1中點(diǎn)M，連結(jié)C1M，BM． ∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱． ∴C1M⊥A1B1,C1M⊥BB1, ∴C1M⊥平面A1ABB1 ∴∠C1BM為直線C1B與平面A1ABB1所成的角．…………3分 在Rt△BMC1中，C1M＝a，BC1＝a, ∴sin∠C1BM＝＝．………………5分
(2)	解：取A1C1的中點(diǎn)D1，AC1的中點(diǎn)F，連結(jié)B1D1，EF，D1F． 則有D1FAA1,B1EAA1． ∴D1FB1E． 則四邊形D1FEB1是平行四邊形 ∴EFB1D1．…………7分 由于三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱． ∴B1D1A1C1． 又平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，且B1D1平面A1B1C1 ∴B1D1⊥平面ACC1A1．…………8分 ∴EF⊥平面ACC1A1． ∵EF平面AEC1, 則平面AEC1⊥平面ACC1A1．…………10分
(3)	解：由(Ⅱ)知，EF⊥平面AC1，則EF是三棱錐E—ACC1的高． 由三棱柱各棱長(zhǎng)都等于a，則 EC＝AE＝EC1＝a,AC1＝a． ∴EF＝＝a．…………12分 ∵VC1－ABC＝VE－ACC1, 設(shè)三棱錐VC1－AEC的高為h，則h為點(diǎn)C1到平面AEC的距離． 則S△AECh＝S△ACC1·EF…………13分 即×a2h＝×a2·a． ∴h＝a 即點(diǎn)C1到平面AEC的距離是a．…………14分