Question

（07年全國卷Ⅰ）已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，過的直線交橢圓于B、D兩點(diǎn)，過的直線交橢圓于A、C兩點(diǎn)，且，垂足為P

（Ⅰ）設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為，證明：；

（Ⅱ）求四邊形ABCD的面積的最小值。

Answer 1

解析：證明（Ⅰ）橢圓的半焦距，

由知點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，

故，

所以，．

（Ⅱ）（）當(dāng)的斜率存在且時(shí)，的方程為，代入橢圓方程，并化簡(jiǎn)得．

設(shè)，，則

，，

；

因?yàn)?IMG height=19 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090326/20090326152159019.gif' width=28>與相交于點(diǎn)，且的斜率為．

所以，．

四邊形的面積

．

當(dāng)時(shí)，上式取等號(hào)．

（）當(dāng)的斜率或斜率不存在時(shí)，四邊形的面積．

綜上，四邊形的面積的最小值為．