Question

．（本小題12 分）如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD為正方形，E、F分別為AB、PC的中點(diǎn).

①求證：EF⊥平面PCD；

②求平面PCB與平面PCD的夾角的余弦值.

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

(1)略

(2)

【解析】解：①證明：取AD中點(diǎn)為O，連接PO，∵平面PAD⊥平面ABCD，

∴PO⊥平面ABCD

故以O(shè)A為軸

OP為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖所示） ……1分

設(shè)，

則，，，，

故可求得：，                      ……3分

∴，，

∵，

∴，   ∴平面

∴平面                  ……6分

②設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

 ，取     ……8分

為平面的一個(gè)法向量，                                    ……9分

故                ……11分

故平面與平面的夾角余弦值為                     ……12分