Question

已知函數(shù)f(x)＝(b，c∈N*)．若方程f(x)＝x有且只有兩個(gè)相異根0，2，且f(－2)＜－，

(1)求函數(shù)f(x)的解析式；

(2)已知各項(xiàng)不為1的數(shù)列{a_n}滿足4S_n·f()＝1，求數(shù)列通項(xiàng)a_n；

(3)如果數(shù)列{a_n}滿足a₁＝4，a_n+1＝f(a_n)，求證：當(dāng)n≥2時(shí)，恒有a_n＜3成立．

Answer 1

答案：
解析：

解　　(1)設(shè)＝x(1－b)x2＋cx＋a＝0 　　 　　由f(－2)＝c＜3． 　　又b，c∈N*，∴c＝2，b＝c，∴f(x)＝(x≠1)． 　　(2)由已知2Sn＝an－，∴2Sn－1＝an－1－． 　　相減得(an＋an－1)(an－an－1＋1)＝0， 　　∴an＝－an－1，或an－an－1＝－1． 　　當(dāng)n＝1時(shí)，2a1＝a1－a1＝－1．若an＝－an－1，則a2＝1， 　　這與an≠1矛盾，∴an－an－1＝－1，∴an＝－n． 　　(3)由an+1＝f(an)an+1＝ 　　∴an+1＜0或an+1≥2． 　　若an+1＜0，則an+1＜3成立； 　　若an+1≥2，則an+1－an＝≤0． 　　∴{an}在n≥2時(shí)單調(diào)遞減． 　　∵a2＝，可知an≤a2＝＜3在n≥2時(shí)成立．