Question

已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）定理：若函數(shù)在區(qū)間D上是凹函數(shù)，且存在，則當(dāng) 時(shí)，總有．請(qǐng)根據(jù)上述定理，且已知函數(shù)是上的凹函數(shù)，判斷與的大��；

（Ⅲ）求證：．

Answer 1

（Ⅰ）（）．                         

（Ⅱ）．                                               

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．

解析:

（Ⅰ）時(shí)，或．

由于是正項(xiàng)數(shù)列，所以．

當(dāng)時(shí)，

，                               

整理，得．

由于是正項(xiàng)數(shù)列，∴．

∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．      

從而，當(dāng)時(shí)也滿足．

∴（）．                         

（Ⅱ）由（Ⅰ）知．

對(duì)于上的凹函數(shù)，有．

根據(jù)定理，得．　　　　　　　　　　　

整理，得．

令，得．          

∴，即．

∴．                                              

（Ⅲ）由（Ⅱ），得．