Question

【題目】如圖，已知橢圓C： ，點(diǎn)A,B分別是左、右頂點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)F的直線(xiàn)MN（異于x軸）交于橢圓C于M、N兩點(diǎn).

（1）若橢圓C過(guò)點(diǎn)，且右準(zhǔn)線(xiàn)方程為，求橢圓C的方程；

（2）若直線(xiàn)BN的斜率是直線(xiàn)AM斜率的2倍，求橢圓C的離心率.

Answer 1

【答案】(1) 或;(2) .

【解析】試題分析:（1）根據(jù)曲線(xiàn)上的點(diǎn)和右準(zhǔn)線(xiàn)方程寫(xiě)出橢圓方程;（2）設(shè)， ，則， ， ；因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，所以，聯(lián)立方程消元,根據(jù)韋達(dá)定理可得，又,進(jìn)而求得離心率.

試題解析:（1）因?yàn)闄E圓過(guò)點(diǎn)，所以，

又已知右準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以， ，

可解得， ；或， ；

所以橢圓的方程為或．

（2）設(shè)， ，則， ， ；

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，

所以，

設(shè)直線(xiàn)： ，與橢圓： 聯(lián)立方程組消去得

，

，

將， 代入上式化簡(jiǎn)得

，又；所以，

得，即，解得或，

又，所以，即橢圓的離心率為．

點(diǎn)睛:本題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系的問(wèn)題,其中過(guò)焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為通徑. 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系從幾何角度看：當(dāng)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)平行時(shí)，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)也只有一個(gè)交點(diǎn).從代數(shù)角度看：設(shè)直線(xiàn)L的方程與圓錐曲線(xiàn)的方程聯(lián)立得到.若=0，當(dāng)圓錐曲線(xiàn)是雙曲線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)L與雙曲線(xiàn)的漸進(jìn)線(xiàn)平行或重合;當(dāng)圓錐曲線(xiàn)是拋物線(xiàn)時(shí)，直線(xiàn)L與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸平行或重合.若，設(shè). 時(shí)，直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)相交于不同兩點(diǎn)，相交. 時(shí)，直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)相切于一點(diǎn)，相切. 時(shí)，直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，相離.