Question

如圖,四邊形ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=∠DAB=90°,CD=2AB,

PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD,Q是PC的中點.

(1)求證:BQ∥平面PAD;

(2)探究在過BQ且與底面ABCD相交的平面中是否存在一個平面α,把四棱錐P—ABCD截成兩部分,使得其中一部分為一個四個面都是直角三角形的四面體.若存在,求平面PBC與平面α所成銳二面角的余弦值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)取PD的中點F,連結(jié)AF、FQ,

∵Q為PC的中點,則FQ為△PCD的中位線,

∴FQ∥CD且FQ=CD.

又∵AB∥CD且AB=CD,

∴FQ∥AB且FQ=AB.

∴四邊形ABQF為平行四邊形,BQ∥AF.

又∵AF在平面PAD內(nèi),BQ在平面PAD外,

∴BQ∥平面PAD.

(2)設(shè)過BQ的平面與平面PCD交于QE,E為△PCD的邊與平面α的交點,

當E為CD中點時,四面體Q—BCE的四個面都是直角三角形,證明如下:

∵當E為CD的中點時,則DE∥AB且DE=AB,∴四邊形ABED為平行四邊形.

∴BE∥AD.又∠ADC=90°,∴∠BEC=90°.故△BEC為直角三角形.

∵在△PAD中,AD=AP,F為PD的中點,

∴AF⊥PD.

又∵PA⊥平面ABCD,CD在平面ABCD內(nèi),

∴PA⊥CD.

又CD⊥AD,∴CD⊥面PAD.

∴∠FDC=90°.

又QE∥PD,∴∠CEQ=90°.

∴△CEQ為直角三角形.

又∵AF面PAD,∴AF⊥CD.

又PD∩CD=D,∴AF⊥面PCD.

由BQ∥AF得BQ⊥面PCD,由CQ,EQ都在平面PCD內(nèi),

∴BQ⊥CQ,BQ⊥EQ.

∴四面體Q—BCE的四個面都為直角三角形.

下面求平面PBC與平面α所有銳二面角的余弦值.

解法一:由上面求解過程知,BQ⊥面PCD,BQ⊥QE,BQ⊥QC,

∴∠EQC是截面α與平面QBC二面角的平面角.

設(shè)PA=AB=AD=1,則PD=,QE=,PC=,CQ=.

在Rt△QEC中,cos∠EQC===.

∴所求角的余弦值為.

解法二:坐標法  如圖建立直角坐標系,

設(shè)PA=AB=AD=1,則A(0,0,0),B(0,1,0),C(-1,2,0),P(0,0,1).

則PB=(0,1,-1),BC=(-1,1,0),平面BQE的法向量為AB=(0,1,0).

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z),

則n⊥PB,n⊥BC.由

令x=1得n=(1,1,1).∴cos〈,n〉=.∴所求角的余弦值為.