Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），且滿足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）、f（4）、f（8）的值；
（2）函數(shù)f（x）當(dāng)x₁，x₂∈（0，+∞）時都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．若f（1）+f（x-2）≤3成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x=1，y=2，代入f（xy）=f（x）+f（y）可求出f（1）的值，同理可求出f（4）、f（8）的值；
（2）根據(jù)當(dāng)x₁，x₂∈（0，+∞）時都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，由f（1）+f（x-2）≤3化為f（x-2）≤f（8），然后根據(jù)單調(diào)性與定義域建立關(guān)系式，可求出x的取值范圍．

解答：解：（1）由f（xy）=f（x）+f（y）且f（2）=1，
令x=1，y=2∴f（2）=f（1）+f（2）得f（1）=0，
∴f（4）=f（2）+f（2）=2
f（8）=f（2）+f（4）=3
（2）∵當(dāng)x₁，x₂∈（0，+∞）時都有

f(x2)-f(x1)

x2-x1

＞0．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，
由f（1）+f（x-2）≤3，
化為f（x-2）≤f（8），
則

x-2＞0 x-2≤8

∴{x|2＜x≤10}．

點評：本題主要考查了抽象函數(shù)及其應(yīng)用，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，同時考查了轉(zhuǎn)化的思想和分析問題的能力，屬于中檔題．