Question

已知雙曲線

x2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過F且斜率為

3

的直線l與右準(zhǔn)線的交點P在該雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的兩條漸近線的夾角為

60°

．

Answer 1

分析：設(shè)雙曲線右焦點坐標(biāo)為（c，0），由雙曲線的幾何性質(zhì)可得其右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

①，漸近線方程為y=±

b

a

x，根據(jù)題意，可得直線l的方程為y=

3

（x-c）②，將①②聯(lián)立，解可得p的坐標(biāo)，又由p在雙曲線的漸近線上，則-

3 b2

c

=-

b

a

×

a2

c

，變形可得

b

a

=

3

3

，可得漸近線的傾斜角為30°，進而可得答案．

解答：解：設(shè)雙曲線右焦點坐標(biāo)為（c，0），則雙曲線右準(zhǔn)線方程為x=

a2

c

①，漸近線方程為y=±

b

a

x，
過點F且斜率為

3

的直線l的方程為y=

3

（x-c）②，
①②聯(lián)立可得，

x= a2 c y=- 3 b2 c

，
即p的坐標(biāo)為（

a2

c

，-

3 b2

c

），P在準(zhǔn)線上，
有-

3 b2

c

=-

b

a

×

a2

c

，解可得

b

a

=

3

3

，
則漸近線的傾斜角為30°，
此雙曲線的兩條漸近線的夾角為60°，
故答案為60°．

點評：本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵要熟悉雙曲線的常見性質(zhì)，如準(zhǔn)線方程、漸進線方程等．