Question

已知P是雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1上的動點，F(xiàn)₁、F₂分別是其左、右焦點，O為坐標原點，則

|PF1|+|PF2|

|PO|

的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：設P（x，y） 則y²=3x²-12，e=2，由焦半徑公式能夠得出|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a，代入所求的式子并化簡得到

4

4 - 12 x 2

，再由雙曲線中x²≥4，求出范圍即可．

解答：解答：解：設P（x，y） x＞0，由焦半徑公式|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a，
則

|PF1|+|PF2|

|OP|

=

ex+a+ex-a

x2+y2

   （y²=3x²-12，e=2），
則原式=

2ex

4x2-12

=

4x

4x2-12

=

4

4 - 12 x 2

，又因為雙曲線中x²≥4．
所以

4

4 - 12 x 2

∈（2，4]．
同理當x＜0時，|PF₁|=a-ex，|PF₂|=-ex-a，
仍可推出

|PF1|+|PF2|

|OP|

=

4

4 - 12 x 2

∈（2，4]．
即推出

|PF1|+|PF2|

|OP|

的取值范圍為（2，4]．
故答案為：（2，4]．

點評：本題考查了雙曲線的性質，由焦半徑公式得到|PF₁|=ex+a，|PF₂|=ex-a是解題的關鍵，要注意分x＞0和x＜0兩種情況作答，屬于中檔題．