Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點(diǎn)P作此圓的切線，切點(diǎn)為T，且|PT|的最小值不小于(a-c)，
(1)證明：橢圓上的點(diǎn)到F₂的最短距離為a-c；
(2)求橢圓的離心率e的取值范圍；
(3)設(shè)橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點(diǎn)為Q，過點(diǎn)Q作斜率為k(k＞0)的直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若OA⊥OB，求直線l被圓F₂截得的弦長S的最大值．

Answer 1

解：(1)假設(shè)橢圓上的任一點(diǎn)，則，
由橢圓方程易得，
顯然當(dāng)x₀=a時，|PF₂|取最小值a-c；
(2)依題意知，
當(dāng)且僅當(dāng)|PF₂|取得最小值時，|PT|取最小值，
∴，
又因?yàn)閎-c＞0．得；
(3)依題意Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，0)，則直線l的方程為y=k(x-1)，
代入橢圓方程得，
設(shè)，
則，
又OA⊥OB，∴，即，
∴，即k=a，直線l的方程為ax-y-a=0，
圓心F₂(c，0)到直線l的距離，
由圖象可知，
由得，
∴。